sábado, 21 de mayo de 2011

¿Como sacar el área?


Área de figuras planas

Area de un triangulo.
  • El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
A =\frac{b\cdot h}{2}
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
  • Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
A =\frac{a\cdot b}{2}
donde a y b son los catetos.
A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
donde a es un lado del triángulo.

[editar]Área de un cuadrilátero

  • El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del angulo que forman.
A = \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}
El área también se puede obtener mediante triangulación:
A = \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}
Siendo:
\alpha\, el ángulo comprendido entre los lados a\, y d\,.
\gamma\, el ángulo comprendido entre los lados b\, y c\,.
  • El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3
A = a \cdot b \,
  • El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}
  • El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:3
A = a \cdot a \, = a^2
  • El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:3
A = b\cdot h\,
  • El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):3
A = \frac{a + b}{2} \cdot h

[editar]Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:4
A = \pi \cdot r^2\,

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:5
A = \pi \cdot a \cdot b

[editar]Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x)\, y g(x) [< f(x)]\, en el intervalo [a,b]\,.
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0entonces evaluando la integral, se obtiene:
A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}
Por lo que se concluye que el área delimitada es \frac{32}{3}.
El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.
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